画线其一

比如一页a4纸，我们怎么样绘制间距为0.8cm的横线，来帮助我们更好的书写呢？

• 一个好方法就是不划线直接写，管他的
• 如果想画线，每次0.8cm，我们可以拿来直尺，从顶端间距0.8cm做一个记号，下一次以这样一个记号开始再间隔0.8cm，做一个记号……，然后在另一侧也同样，然后两点确定一条直线，于是大功告成。

通过实践发现，这种画线方法超级不好，因为在实际操作的时候，一但某一次发生较大的标记误差，之后所有的标记便也会出现这个误差。

众所周知，误差无法避免，如果设每次标号由于主观因素均会出现误差$\varepsilon$，并记第$i$次标记出现的误差为$\varepsilon _i$。

不妨我们可以设$\varepsilon \sim N(0, \sigma ^2)$。

那么按照这种标记画线方式，误差会出现累计，我们可以知道第$k$次标记的误差实际上为第$k$次标记时产生的误差$\varepsilon _k$和之前积累的误差所产生，简单分析，可以得出第$k$次标号的误差$M_k$:

$$M_k = \sum _{i=1}^{k} \varepsilon _i $$

这一过程中产生的总误差$S_k$:

$$S_k = \sum_{i=1}^{k}M_k=n\varepsilon_1+(n-1)\varepsilon_2+\cdots+\varepsilon_k=\sum_{i=1}^k (n-i+1)M_k$$

由正态分布的性质可以知道：
$$M_k\sim N(0,k\,\sigma^2)$$
$$S_k\sim N(0,\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\,\sigma ^2)$$

得出：
$$\mathbb E(M_k)=\mathbb E(S_k)=0$$

误差的均值为0，但方差可是很大的。

可以发现，在这里我可以设置置信度$\alpha$，来求取置信区间，发现方差越大，所求取的区间长度越大，长度大也就是说明我们的画线标记点的位置由于误差积累波动很大，使得我们两侧标记点连成的直线，可能会出现肉眼可见的不平行！

画线其二

如果我们从一开始，确定0刻度之后，固定我们的直尺，第一次在$0.8cm$处做记号，第二次$0.8\times 2=1.6cm$，第三次$0.8\times 3=2.4cm\cdots\cdots$一直进行下去直到你尺子的不够长，那么这个时候我们重新调整，选定最后一个标点为起点，继续上面的操作。

下面无法避免，下面进行误差分析，每一次的主观标点产生的误差无可避免，应该来说还是$\varepsilon,\varepsilon\sim N(0,\sigma ^2)$，但每一次标点和第一种方法的不同就在于，这里的每一次标点不基于上一次，所以没有误差积累。

在这里面
$$M'_k=\varepsilon_k$$
$$S'_k=\sum_{i=1}^k M'_k=\sum_{i=1}^k \varepsilon_k$$

由正太分布的性质：

$$ M'_k\sim N(0,\sigma ^2) $$$$ S_k \sim N(0,n\,\sigma^2)\nonumber $$

1. 可以通过对比$M_k$和$M'_k$的方差：

$M_k$的方差为$k\,\sigma^2$，$M'_k$的方差为$\sigma ^2$。

1. 再对比$S_k$和$S'_k$的方差：

$S_k$的方差为$\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\,\sigma ^2$，$S'_k$的方差为$k\,\sigma ^2$。

前面已经说过，均值为$0$，方差大绝对不是一件好事，方差大说明误差的波动越大。

总结

后一种画线方法可以说是误差更小的，而且速度应该来说是更快的，如果间距设置为$0.8cm$，我们只需要关注$8,6,4,2,0$，这些特殊的厘米刻度即可，最后的速度也很可观！